1.1.7. Теорема гаусса в интегральной форме и ее применение к расчету электрических полей

1.1.8. Теорема гаусса в дифференциальной форме. Дивергенция векторного поля

1.1.9.Потенциальный характер электростатического поля. Работа сил поля при перемещении зарядов. Циркуляция и ротор векторного поля. Теорема стокса в интегральной и дифференциальной форме

1.1.10.Потенциал электростатического поля. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

1.1.11. Связь между напряженностью и потенциалом

1.1.12. Уравнение пуассона и лапласа для потенциала

1.1.13. Эквипотенциальные поверхности

Лекция 2

1.2. Диэлектрики в электрическом поле

1.2.1.Полярные и неполярные молекулы

1.2.2. Диполь во внешнем электрическом поле

1.2.3 Поляризация диэлектриков. Ориентационный и деформационный механизмы поляризации. Дипольный момент системы зарядов. Диэлектрическая восприимчивость для полярных и неполярных диэлектриков

1.2.5. Вектор электрического смещения (электростатической индукции). Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

1.2.6. Граничные условия для векторов напряженности электрического поля и электрического смещения

1.2.7. Примеры расчета электрических полей в диэлектриках

1.2.8. Силы, действующие на заряд в диэлектрике

1.3.Проводники в электрическом поле

1.3.1. Равновесие зарядов на приводнике. Основная задача электростатики проводников. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электростатического поля между проводниками

1.3.2.Проводник во внешнем электрическом поле. Электростатическая защита

1.3.3.Электроемкость проводников

1.3.4. Электроемкость конденсаторов

1.3.5. Соединения конденсаторов

1.4.Энергия электрического поля

1.4.1.Энергия взаимодействия электрических зарядов. Теорема ирншоу

1.4.2. Энергия заряженного проводника

1.4.3. Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля

1.4.4.Энергия поляризованного диэлектрика. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике

1.4.5. Энергия системы заряженных проводников

1.4.6. Закон сохранения энергии для электрического поля в несегнетоэлектрической среде

1.4.2. Энергия заряженного проводника

Заряжая некоторый проводник, необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными электрическими зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника, которая в данном случае аналогична потенциальной энергии в механике.

Рассмотрим проводник, имеющий электроемкость , заряди потенциал. Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении заряда
из бесконечности на проводник равна

.

Для того, чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала , необходимо совершить работу
. Ясно, что энергия заряженного тела равна той работе, которую нужно совершить, чтобы зарядить это тело:
.

Энергию называют собственной энергией заряженного тела. Ясно, что собственная энергия есть не что иное, как энергия электростатического поля этого тела.

1.4.3. Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля

Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд
, равен, а потенциал обкладки, на которой находится заряд
,. Энергия такой системы зарядов, то есть равна собственной энергии системы зарядов, где- напряжение между обкладками конденсатора,
.

Рассмотрим плоский конденсатор. Энергия, заключенная в единице объема электростатического поля называется объемной плоскостью энергии. Эта объемная плоскость должна быть одинаковой во всех точках однородного поля, а полная энергия поля пропорциональна его объему. Известно, что
,
, тогда для энергии имеем:
, но
- объем электростатического поля между обкладками конденсатора, то есть
. Тогда объемная плотность энергииоднородного электростатического поля конденсатора равна
, и определяется его напряженностью или смещением. В случае неоднородных электрических полей

Найдем энергию сферического конденсатора. На расстоянии от центра заряженного шара напряженность его электростатического поля равна
. Рассмотрим бесконечно тонкий шаровой слой, заключенный между сферами радиусови
. Объем такого слоя:
. Энергия слоя
следовательно,

.

Тогда полная энергия заряженного шара равна:

,

где - радиус шара. Емкость шара
, следовательно,
- энергия электростатического поля сферического конденсатора равна его собственной энергии, так как заряженное тело потому и обладает электрической энергией, что при его зарядке была совершена работа против сил создаваемого им электростатического поля.

1.4.4.Энергия поляризованного диэлектрика. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике

Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик, находящийся во внешнем электрическом поле. Процесс поляризации связан с работой по деформации электронных орбит в атомах и молекулах и по повороту осей молекул-диполей вдоль поля. Ясно, что поляризованный диэлектрик должен обладать запасом электрической энергии.

Если поле напряженностью создано в вакууме,
, то объемная плотность энергии этого поля в точке с напряженностьюравна:

Докажем, что объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика в этой точке выражается формулой:
.

Рассмотрим диэлектрик с неполярными молекулами. Молекулы такого диэлектрика являются упругими диполями. Электрический момент упругого диполя, находящегося в поле с напряженностью , равен
, где- поляризуемость диполя, или в скалярной форме:

, (1.4.1)

где
- заряд и плечо диполя.

На заряд со стороны поля действует сила
, которая при увеличении длины диполя на
совершает работу
. Из выражения (1.4.1) получаем:
, поэтому

. (1.4.2)

Чтобы найти работу поля при деформации одного упругого диполя, надо проинтегрировать выражение (1.4.2):

.

Работа равна той потенциальной энергии, которой обладает упругий диполь в электрическом поле напряженностью. Пусть- число диполей в единице объема диэлектрика. Тогда потенциальная энергия всех этих диполей, то есть объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика равна:
. Однако
- модуль вектора поляризации, тогда
. Известно, что
, и
, тогда
, что и требовалось доказать.

Энергия заряженного проводника определяется как работа по переносу заряда из на его поверхность. Если сразу переносить весь заряд из на поверхность проводника, то работа, совершаемая против силы электрического поля будет равна нулю, поскольку заряды переносятся в отсутствии электрического поля.

Поэтому энергию заряженного проводника следует определять как работу по переносу заряда из на его поверхность отдельными малыми порциями.

Энергия заряженного конденсатора. Энергию заряженного конденсатора можно найти так же через работу по переносу заряда на его пластины отдельными малыми порциями. Основное отличие от предыдущего случая состоит в том, что в данном случае заряды переносятся не из , а с одной пластины на другую, что требует во много раз меньших затрат энергии.Поскольку работа по зарядке проводника или конденсатора связана с потенциалом, то потребуются гораздо меньшие затраты энергии для сообщения одинакового заряда пластинам конденсатора и проводнику. Отсюда следует, что взаимная емкость пластин конденсатора много больше суммарной емкости каждой из пластин в отдельности.

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ

Будем считать, что энергия заряженного конденсатора – это энергия электростатического поля, заключенного между его пластинами. Для определения энергия электростатического поля возьмем плоский конденсатор, поскольку поле между его пластинами является однородным. Выразим энергию заряженного конденсатора через основную характеристику электрического поля - напряженность поля

Работа по поляризации диэлектрика. Возьмем диэлектрик в виде куба, который состоит из неполярных молекул. Под действием поля напряженностью Е происходит смещение + и – зарядов в каждой молекуле на dr k .

Возникающий при этом электрический момент молекулы p k = q k ∙dr k .

Работа по поляризации одной молекулы: dA k =F k ∙ dr k = q k ∙E∙ dr k ,

но q k ∙dr k =dp k -это изменение электрического момента одной молекулы.

Откуда dA k =Е∙ dр k

Элементарная работа по всему объему диэлектрика:

dA V = Ʃ E∙dp i = E Ʃ dp i = E d Ʃp i = E∙ dP

Работа по поляризации диэлектрика

Энергия электрического поля, плотность энергии

Первое слагаемое – это энергия электрического поля

в вакууме, а второе – работа по поляризации диэлектрика

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Лекция №14

Электрическим током называется направленное движение зарядов. За направление тока принимается направление движения + зарядов. Свойство тел пропускать электрический ток называется проводимостью . По этому признаку все тела можно условно разделить на проводники и изоляторы .

Линия тока – это линия, вдоль которой движутся заряды, участвующие в электрическом токе.

Трубка тока – трубка, боковые стенки которой образованы линиями тока.

Сила тока I – физическая величина, характеризующая скорость потока заряженных частиц, равная количеству электричества Δq, проходящему через поперечное сечение проводника за время Δt, отнесенному к этому интервалу времени: I= Dq/Dt

Плотность тока – векторная величина, связывающая силу тока с поперечным сечением проводника. Плотность тока равна количеству электричества Δq, проходящему через поперечное сечение проводника Δ S за время Δt, отнесенное к этой площадке и этому интервалу времени.

1. Энергия системы неподвижных точеч­ных зарядов . Электростатические силы взаимодействия консервативны; следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух точечных зарядов Q 1 и Q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:

где φ 12 и φ 21 - соответственно потенциа­лы, создаваемые зарядом Q 2 в точке на­хождения заряда Q 1 и зарядом Q 1 в точке нахождения заряда Q 2 . Потенциал поля точечного заряда равен:

Добавляя к системе из двух зарядов по­следовательно заряды Q 3 , Q 4 , …, можно убедиться в том, что в случае nнепод­вижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(3)

где j i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i , всеми за­рядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника . Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, φ . Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный провод­ник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенци­ала до j, необходимо совершить работу

Энергия заряженного проводника рав­на той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

(4)

Эту формулу можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной.Полагая потенциал проводника равным j, из (3) найдем

где - заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденсато­ра . Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (4) равна

(5)

где Q - заряд конденсатора, С - его ем­кость, Dj - разность потенциалов между обкладками.

Используя выражение (5), можно найти механическую силу, с которой пластины конден­сатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х меж­ду пластинами меняется, например, на величину dx. Тогда действующая сила со­вершает работу

вследствие уменьшения потенциальной энергии системы

F dx = -dW,

(6)

Подставив в (5) в формулу емкости плоского конденсатора, по­лучим

(7)

Производядифференцирование при кон­кретном значении энергии (см. (6) и (7)), найдем искомую силу:

,

где знак минус указывает, что сила Fявляется силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля .

Преобразуем формулу (5), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воcпользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = e 0 eS/d) и раз­ности потенциалов между его обкладками (Dj = Ed). Тогда получим

(8)

где V = Sd - объем конденсатора. Эта форму­ла показывает, что энергия кон­денсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое по­ле,- напряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

Это выражение справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение: Р = ce 0 E.

Формулы (5) и (8) соответствен­но связывают энергию конденсатора с за­рядом на его обкладках и с напряженно­стью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энер­гии и что является ее носителем - заряды или иоле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. По­этому электростатика ответить на постав­ленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обо­собленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, спо­собных переносить энергию. Это убеди­тельно подтверждает основное положение теории близкодействия о локализации энергии в поле и что носителем энергии является поле.

Электрические диполи

Два равных по величине заряда противоположного знака, + Q и- Q, расположенных на расстоянии l друг от друга, образуют электрический диполь. Величина Ql называется дипольным моментом и обозначается символом р. Дипольным моментом обладают многие молекулы, напри­мер двухатомная молекула СО (атом С имеет небольшой положительный заряд, а О - небольшой отрицательный заряд); несмотря на то что молекула в целом нейтральна, в ней происходит разделение зарядов из-за неравного распределения электронов между двумя атомами. (Сим­метричные двухатомные молекулы, такие, как О 2 , не обладают дипольным моментом.)

Рассмотрим вначале диполь с моментом ρ = Ql, помещенный в однородное электрическое поле напряженностью Ε . Дипольный момент можно пред­ставить в виде вектора р, равного по абсолютной величи­не Ql и направленного от отрицательного заряда к поло­жительному. Если поле однородно, то силы, действующие на положительный заряд, QE, и отрицательный, - QE, не создают результирующей силы, действующей на диполь. Однако они приводят к возникновению вращающего мо­мента, величина которого относительно середины диполя О равна

или в векторной записи

В результате диполь стремится повернуться так, чтобы вектор p был параллелен Е. Работа W, совершаемая электрическим полем над диполем, когда угол θ изме­няется от q 1 до q 2 , дается выражением

В результате работы, совершаемой электрическим полем, уменьшается потенциальная энергия U диполя; если по­ложить U = 0, когда p^Ε (θ = 90 0), то

U=-W=- pEcos θ = - p · Ε.

Если электрическое поле неоднородно, то силы, действую­щие на положительный и отрицательный заряды диполя, могут оказаться неодинаковыми по величине, и тогда на диполь, кроме вращающего момента, будет действовать еще и результирующая сила.

Итак, мы видим, что происходит с электрическим диполем, помещенным во внешнее электрическое поле. Обратимся теперь к другой стороне дела.

рис. Электрическое по­ле, создаваемое электрическим диполем.

Предположим, что внешнее поле отсутствует, и определим электрическое поле, создаваемое самим диполем (способное действовать на другие заряды). Для простоты ограничимся точками, расположенными на перпендикуляре к середине диполя, подобно точке Ρ на рис. ???, находящейся на расстоя­нии rот середины диполя. (Заметим, что rна рис.??? не является расстоянием от каждого из зарядов до Р, кото­рое равно (r 2 + / 2 /4) 1/2) .Напряженность электрического поля в: точке Ρ равна

Ε = Ε + + Ε - ,

где Е + и Е - - напряженности поля, создаваемые соот­ветственно положительным и отрицательным зарядами, равные между собой по абсолютной величине:

Их y-компоненты в точке Ρ взаимно уничтожаются, и по абсолютной величине напряженность электрического поля Ε равна

,

[вдоль перпендикуляра к середине диполя].

Вдали от диполя (r » /) это выражение упрощается:

[вдоль перпендикуляра к середине диполя, при r >> l].

Видно, что напряженность электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем для точечного заряда (как 1/r 3 вместо 1/r 2). Этого и следовало ожидать: на больших расстояниях два заряда противоположных знаков кажутся столь близкими, что нейтрализуют друг друга. Зависимость вида 1/r 3 справедлива и для точек, не лежащих на перпендикуляре к середине диполя.

Заряд q , находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов, а следовательно, энергия заряженного проводника может быть определена по формуле (5.3). Известно, что область, занятая проводником, является эквипотенциальной, поэтому . Вынесем в формуле (5.3) за знак суммы:

так как и определяет весь заряд, сосредоточенный на проводнике, выражение для энергии заряженного проводника получим в виде: .

Применяя соотношение , можно получить следующее выражение для потенциальной энергии заряженного проводника:

.

Энергия заряженного конденсатора

Пусть заряд находится на обкладке с потенциалом , а заряд на обкладке с потенциалом . Согласно формуле (5.3) энергию такой системы можно определить:

Воспользовавшись выражением (4.4) для электроемкости конденсатора, (5.4) можно представить в виде:

. (5.5)

Энергия электростатического поля

Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие поле между пластинами. Сделаем это для плоского конденсатора. Учитывая формулу для плоского конденсатора и что , (5.5) примет вид:

. (5.6)

Так как - объем, занимаемый полем, то формулу (5.6) можно записать в виде:

. (5.7)

Формула (5.5) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, а формула (5.7) – с напряженностью поля. В рамках электростатики невозможно ответить на вопрос, что является носителем энергии – заряды или поле? Постоянные поля и создающие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Законы электродинамики доказывают, что носителем энергии является поле.

Если поле однородно (например, в плоском конденсаторе), энергия в нем распределяется с постоянной плотностью, значение которой можно найти по формуле:

. (5.8)

С учетом взаимосвязи напряженности и индукции поля выражения для плотности энергии (5.8) можно записать следующим образом:

.

Принимая во внимание (3.7), получим:

. (5.9)

Первое слагаемое в (5.9) определяет плотность энергии в вакууме, а второе – плотность энергии, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Сила тока, плотность тока

Под электрическим током понимают упорядоченное движение заряженных частиц, причем за направление тока принимают направление движения положительных зарядов.

Электрический ток существует при наличии свободных зарядов и электрического поля. Такие условия для движения зарядов можно создать в вакууме (термоэлектронная эмиссия) и в различных средах, таких как твердые тела (металлы, полупроводники), жидкости (жидкие металлы, электролиты) и в газах. Носителями тока могут быть различные частицы, так в металлах – свободные электроны, в газах – электроны и ионы и т.д.

Протекание тока по проводнику характеризует сила тока I , определяемая по формуле:

где dq – заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время dt .

Для постоянного тока величина I остается одинаковой и по модулю, и по направлению, что позволяет в формуле (6.1) выбирать конечные значения заряда и времени:

Распределение тока по сечению проводника характеризует вектор плотности , направление которого в каждой точке проводника совпадает с направлением тока, т.е. с направлением скорости упорядоченных положительных зарядов . Модуль вектора равен:

где - сила тока, протекающего в данной точке внутри проводника через элементарную площадку , расположенную перпендикулярно к направлению тока (рис.6.1,а).

Введение вектора плотности тока позволяет найти силу тока, протекающего через любую поверхность S :

. (6.2)

В этой формуле угол – это угол между вектором и нормалью к элементарной площадке площадью (см.рис.6.1,а).

Представляет интерес выразить вектор плотности тока через характеристики, описывающие движение свободных зарядов в проводнике. В качестве примера рассмотрим электрический ток в металле, где валентные электроны образуют газ свободных частиц, заполняющих кристаллическую решетку положительно заряженных ионов.

При отсутствии электрического поля в проводнике свободные электроны участвуют только в тепловом движении со средней арифметической скоростью , определяемой по формуле

где - постоянная Больцмана, - масса электрона, - температура. При комнатной температуре .

Из-за хаотичности теплового движения электронов электрического тока не возникает ( =0), так как через поперечное сечение проводника в обе стороны проходит одинаковое число электронов, и поэтому суммарный перенос заряда равен нулю.

При включении электрического поля у электронов появляется добавочная скорость - средняя скорость направленного движения под действием сил электрического поля. Именно обеспечивает наличие тока в проводнике.

Через поперечное сечение проводника площадью S за время t пройдут все электроны, находящиеся в цилиндре высотой () (см.рис.6.1,б). Если ввести такую характеристику металла, как концентрацию свободных электронов, то тогда можно получить:

, (6.3)

где – заряд электрона или, в общем случае, свободной заряженной частицы, участвующей в создании электрического тока; N – число заряженных частиц в объеме V .

Приведем оценку модуля средней скорости направленного движения свободных электронов в металле . Учитывая числовые значения концентрации свободных электронов в металле n ~ 10 29 м -3 и предельно допустимую плотность тока, например, в медном проводнике j пред ~ 10 7 А/м 2 , из формулы (6.3) получим:

Из последнего выражения следует, что скорость < > упорядоченного движения значительно меньше скорости теплового движения.

Заряд q , находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов q. Ранее мы получили (3.7.1) выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды q i , одинаковы и равны потенциалу j проводника. Воспользовавшись формулой (3.7.10) получим для энергии заряженного проводника выражение:

. (3.7.11)

Любое, из ниже приведенных формул (3.7.12) дает энергию заряженного проводника:

. (3.7.12)

Итак, логично поставить вопрос: где же локализована энергия, что является носителем энергии- заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные по времени поля неподвижных зарядов, дать ответ невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля, могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле.

Литература:

Осн. 2 , 7 , 8 .

Доп. 22 .

Контрольные вопросы:

1. При каких условиях силы взаимодействия двух заряженных тел можно найти по закону Кулона?

2. Чему равен поток напряженности электростатического поля в вакууме через замкнутую поверхность?

3. Расчет каких электростатических полей удобно производить на основе теоремы Остроградского-Гаусса?

4. Что можно сказать о напряженности и потенциале электростатического поля внутри и у поверхности проводника?