В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией
называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.
Пусть тело В
, движущееся со скоростью v
, начинает взаимодействовать с другим телом С
и при этом тормозится. Следовательно, тело В
действует на тело С
с некоторой силой F
и на элементарном участке пути ds
совершает работу
По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила -F , касательная составляющая которой -F τ вызывает изменение численного значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона
Следовательно,
Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:
Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:
(3.7)
Из формулы (3.7) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной (E k ≥ 0
).
Если система состоит из n
поступательно движущихся тел, то для ее остановки необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел:
(3.8)
Из формулы (3.8) видно, что E k
зависит только от величины масс и скоростей движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой m i
приобрело скорость ν i
. Другими словами, кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения
.
Скорости ν i
существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.7) и (3.8) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость ν i
i
-го тела системы, а, следовательно, его E ki
и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной
.
Потенциальная энергия
– это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (E n
= 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P
, поднятого на высоту h
, потенциальная энергия будет равна E n = Ph
(E n
= 0 при h
= 0); для груза, прикрепленного к пружине, E n = kΔl 2 / 2
, где Δl
- удлинение (сжатие) пружины, k
– ее коэффициент жесткости (E n
= 0 при l
= 0); для двух частиц с массами m 1
и m 2
, притягивающимися по закону всемирного тяготения, 
, где γ
– гравитационная постоянная, r
– расстояние между частицами (E n
= 0 при r
→ ∞).
Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля – тело массой m
, поднятого на высоту h
над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то
Где E no
– потенциальная энергия системы при h
= 0 (знак «-» показывает, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).
Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l
и с углом наклона α к вертикали (lcosα = h
), то работа сил тяготения равна прежней величине:
Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории, то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных участков Δl i . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна
На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:
Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути.
Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
В свою очередь работа dA
выражается как скалярное произведение силы F
на перемещение dr
, поэтому последнее выражение можно записать следующим образом:
(3.9)
Следовательно, если известна функция E n (r)
, то из выражения (3.9) можно найти силу F
по модулю и направлению.
Для консервативных сил
Или в векторном виде
где
(3.10)
Вектор, определяемый выражением (3.10), называется градиентом скалярной функции П
; i, j, k
- единичные векторы координатных осей (орты).
Конкретный вид функции П
(в нашем случае E n
) зависит от характера силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано выше.
Полная механическая энергия W
системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:
Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только от положения и скоростей всех тел системы.
Системой частиц может быть любое тело, газ, механизм, Солнечная система и т. д.
Кинетическая энергия системы частиц, как упоминалось выше, определяется суммой кинетических энергий частиц, входящих в данную систему.
Потенциальная энергия системы складывается из собственной потенциальной энергии частиц системы, и потенциальной энергии системы во внешнем поле потенциальных сил .
Собственная потенциальная энергия обусловлена взаимным расположением частиц, принадлежащих данной системе (т.е. ее конфигурацией), между которыми действуют потенциальные силы, а также взаимодействием между отдельными частями системы. Можно показать, что работа всех внутренних потенциальных сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы:
. (3.23)
Примерами собственной потенциальной энергии являются энергия межмолекулярного взаимодействия в газах и жидкостях, энергия электростатического взаимодействия неподвижных точечных зарядов. Примером внешней потенциальной энергии является энергия тела, поднятого над поверхностью Земли, так как она обусловлена действием на тело постоянной внешней потенциальной силы - силы тяжести.
Разделим силы, действующие на систему частиц, на внутренние и внешние, а внутренние - на потенциальные и непотенциальные. Представим (3.10) в виде
Перепишем (3.24) с учетом (3.23):
Величина, сумма кинетической и собственной потенциальной энергии системы, является полной механической энергией системы . Перепишем (3.25) в виде:
т.е., приращение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних непотенциальных сил и всех внешних сил.
Если в (3.26) положить A внешн =0 (это равенство означает, что система является замкнутой) и (что равносильно отсутствию внутренних непотенциальных сил), то получим:
Оба равенства (3.27) являются выражениями закона сохранения механической энергии : механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой отсутствуют непотенциальные силы, сохраняется в процессе движения, Такую систему называют консервативной. С достаточной степенью точности замкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему. При движении замкнутой консервативной системы сохраняется полная механическая энергия, в то время как кинетическая и потенциальная энергия изменяются. Однако эти изменения такие, что приращение одной из них в точности равно уменьшению другой.
Если замкнутая система не является консервативной, т. е. в ней действуют непотенциальные силы, например, силы трения, то механическая энергия такой системы, убывает, так как расходуется на работу против этих сил. Закон сохранения механической энергии является лишь отдельным проявлением существующего в природе универсального закона сохранения и превращения энергии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между отдельными частями материи. При этом понятие энергии расширяется введением понятий о новых формах ее кроме механической, - энергии электромагнитного поля, химической энергии, ядерной и др. Универсальный закон сохранения и превращения энергии охватывает те физические явления, на которые законы Ньютона не распространяются. Этот закон имеет самостоятельное значение, так как получен на основе обобщений опытных фактов.
Пример 3.1 . Найти работу, совершаемую упругой силой, действующей на материальную точку вдоль некоторой оси х. Сила подчиняется закону , где х - смещение точки из начального положения (в котором.х=x 1), - единичный вектор в направлении оси х.
Найдем элементарную работу упругой силы при перемещении точки на величину dx. В формулу (3.1) для элементарной работы подставим выражение для силы:
.
Затем найдем работу силы, выполним интегрирование вдоль оси x в пределах от x 1 до x :
. (3.28)
Формулу (3.28) можно применить для определения потенциальной энергии сжатой или растянутой пружины, которая первоначально находится в свободном состоянии, т.е. x 1 =0 (коэффициент k называется коэффициеном жесткости пружины). Потенциальная энергия пружины при сжатии или растяжении равна работе против упругих сил, взятой с обратным знаком:
.
Пример 3.2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии.
Найти минимальную скорость u, которую надо сообщить снаряду , чтобы он поднялся на высоту H над поверхностью Земли (сопротивлением атмосферного воздуха пренебречь ).
Направим ось координат от центра Земли по направлению полета снаряда. Начальная кинетическая энергия снаряда будет затрачена на работу против потенциальных сил гравитационного притяжения Земли. Формулу (3.10) с учетом формулы (3.3) можно представить в виде:
.
Здесь A
– работа против силы гравитационного притяжения Земли (
, g гравитационная постоянная, r
– расстояние, отсчитываемое от центра Земли). Знак минус появляется из-за того, что проекция силы гравитационного притяжения на направление движения снаряда отрицательна. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что T(R+H)=0, T(R) = mυ 2 /2
, получим:
Решив полученное уравнение относительно υ, найдем:
где - ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Энергия. Закон сохранения полной механической энергии (повторяем понятия).
Энергия - это скалярная физическая величина которая является мерой различных форм движения материи и является характеристикой состояния системы (тела) и определяет максимальную работу, которую может выполнить тело (система).
Тела обладают энергией:
1. кинетической энергией - вследствие движения массивного тела
2. потенциальной энергией - в результате взаимодействия с другими телами, полями;
3. тепловой (внутренней) энергией - вследствие хаотического движения и взаимодействия своих молекул, атомов, электронов...
Полную механическую энергию составляют кинетическая и потенциальная энергия.
Кинетическая энергия - энергия движения.
Кинетическая энергия массивного тела m, которое движется поступательно со скоростью v ищут по формуле:
Ек = К = mv2 / 2 = p2 / (2m)
где р = mv - количество движения или импульс тела.
Кинетическая энергия системы n массивных тел
где Ки - кинетическая энергия i-го тела.
Значение кинетической энергии материальной точки или тела зависит от выбора системы отсчета, но не может быть отрицательной:
Теорема о кинетической энергии:
Изменение? К кинетической энергии тела при его переходе из одного положения в другое равно работе А всех сил, действующих на тело:
А =? К = К2 - К1.
Кинетическая энергия массивного тела с моментом инерции J которое вращается с угловой скоростью ω ищут по формуле:
Коб = Jω2 / 2 = L2 / (2J)
где L = Jω - момент количества движения (или момент импульса) тела.
Полную кинетическую энергию тела которое движется одновременно поступательно и вращательно ищут по формуле:
К = mv2 / 2 + Jω2 / 2.
Потенциальная энергия - энергия взаимодействия.
Потенциальной называют часть механической энергии, которая зависит от взаимного расположения тел в системе и их положение во внешнем силовом поле.
Потенциальная энергия тела в однородном поле тяготения Земли (у поверхности, g = const):
(*) - Это энергия взаимодействия тела с Землей;
Это работа силы тяжести при опускании тела на нулевой уровень.
Значение П = mgH может быть положительным, отрицательным в зависимости от выбора системы отсчета.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины).
П = КХ2 / 2: - это энергия взаимодействия частиц тела;
Это работа силы упругости при переходе в состояние, когда деформация равна нулю.
Потенциальная энергия тела в гравитационном поле другого тела.
П = - G m1m2 / R - потенциальная энергия тела m2 в гравитационном поле тела m1 - где G - гравитационная постоянная, R - расстояние между центрами взаимодействующих тел.
Теорема о потенциальной энергии:
Работа А потенциальных сил равна изменению? П потенциальной энергии системы, при переходе из начального состояния в конечное, взятой с обратным знаком:
А = -? П = - (П2 - П1).
Основное свойство потенциальной энергии:
В состоянии равновесия потенциальная энергия принимает минимальное значение.
Закон сохранения полной механической энергии.
1. Система замкнутая, консервативная.
Механическая энергия консервативной системы тел остается постоянной в процессе движения системы:
Е = К + П = const.
2. Система замкнутая, неконсервативной.
Если система взаимодействующих тел замкнутая но неконсервативной, то ее механическая энергия не сохраняется. Закон изменения полной механической энергии говорит:
Изменение механической энергии такой системы равна работе внутренних непотенциальные сил:
Примером такой системы является система, в которой присутствуют силы трения. Для такой системы справедливо закон сохранения полной энергии:
3. Система незамкнутая, неконсервативной.
Если система взаимодействующих тел незамкнутая и неконсервативных, то ее механическая энергия не сохраняется. Закон изменения полной механической энергии говорит:
Изменение механической энергии такой системы равна суммарной работе внутренних и внешних непотенциальные сил:
При этом изменяется внутренняя энергия системы.
Полная механическая энергия характеризует движение и взаимодействие тел, следовательно, зависит от скоростей и взаимного расположения тел.
Полная механическая энергия замкнутой механической системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел этой системы:
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии - фундаментальный закон природы.
В ньютоновской механике закон сохранения энергии формулируется следующим образом:
Полная механическая энергия изолированной (замкнутой) системы тел остаётся постоянной.
Другими словами:
Энергия не возникает из ничего и не исчезает никуда, она может только переходить из одной формы в другую.
Классическими примерами этого утверждения являются: пружинный маятник и маятник на нити (с пренебрежимо малым затуханием). В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия деформированной пружины (имеющая максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию груза (достигающую максимума в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно. В случае маятника на нити потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию и обратно.
2 Оборудование
2.1 Динамометр.
2.2 Штатив лабораторный.
2.3 Груз массой 100 г – 2шт.
2.4 Линейка измерительная.
2.5 Кусочек мягкой ткани или войлока.
3 Теоретическое обоснование
Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 1.
Динамометр укреплен вертикально в лапке штатива. На штатив помещают кусочек мягкой ткани или войлока. При подвешивании к динамометру грузов растяжение пружины динамометра определяется положением указателя. При этом максимальное удлинение (или статическое смещение) пружины х 0 возникает тогда, когда сила упругости пружины с жесткостью k уравновешивает силу тяжести груза массой т:
kx 0 =mg, (1)
где g = 9,81- ускорение свободного падения.
Следовательно,
Статическое смещение характеризует новое положение равновесия О" нижнего конца пружины (рис. 2).
Если груз оттянуть вниз на расстояние А от точки О" и отпустить в точке 1, то возникают периодические колебания груза. В точках 1 и 2, называемых точками поворота, груз останавливается, изменяя направление движения на противоположное. Поэтому в этих точках скорость груза v = 0.
Максимальной скоростью v m ax груз будет обладать в средней точке О". На колеблющийся груз действуют две силы: постоянная сила тяжести mg и переменная сила упругости kx. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле в произвольной точке с координатой х равна mgx. Потенциальная энергия деформированного тела соответственно равна .
При этом за нуль отсчета потенциальной энергии для обеих сил принята точка х = 0, соответствующая положению указателя для нерастянутой пружины.
Полная механическая энергия груза в произвольной точке складывается из его потенциальной и кинетической энергии. Пренебрегая силами трения, воспользуемся законом сохранения полной механической энергии.
Приравняем полную механическую энергию груза в точке 2 с координатой -(х 0 -А) и в точке О" с координатой -х 0 :
Раскрывая скобки и проводя несложные преобразования, приведем формулу (3) к виду
Тогда модуль максимальной скорости грузов
Жесткость пружины можно найти, измерив статическое смещение х 0 . Как следует из формулы (1),